一、 为什么说左极限的论证过程其实证明了fff是一个偶函数在数学中偶函数Even Function的定义是对于定义域内的任意xxx都满足f(−x)f(x)f(-x) f(x)f(−x)f(x)我们来看看书中在证明左极限时具体用了哪一步代数变形。书中设t−xt -xt−x在简化极限表达式时写了这样一串等式sin⁡(−t)−t−sin⁡(t)−tsin⁡(t)t\frac{\sin(-t)}{-t} \frac{-\sin(t)}{-t} \frac{\sin(t)}{t}−tsin(−t)​−t−sin(t)​tsin(t)​如果我们把函数定义为f(x)sin⁡(x)xf(x) \frac{\sin(x)}{x}f(x)xsin(x)​那么等式最左边的sin⁡(−t)−t\frac{\sin(-t)}{-t}−tsin(−t)​其实就是f(−t)f(-t)f(−t)。等式最右边的sin⁡(t)t\frac{\sin(t)}{t}tsin(t)​其实就是f(t)f(t)f(t)。所以这个推导过程的核心就是f(−t)f(t)f(-t) f(t)f(−t)f(t)因为这个等式对所有不为000的实数ttt都成立这正好符合偶函数的定义f(−x)f(x)f(-x) f(x)f(−x)f(x)。因此书中所说的“左极限的论证过程其实也证明了fff是一个偶函数”指的就是利用正弦函数的奇偶性推导出了f(−t)f(t)f(-t) f(t)f(−t)f(t)这一结论。二、 “一面镜子”是什么意思“y轴就像是一面镜子”是一个形象的比喻用来描述偶函数图像的y轴对称性轴对称。我们可以这样想象几何对称如果你把一面镜子竖直立在平面直角坐标系的yyy轴上镜面朝向右侧或左侧。镜像关系对于右半部分图像上的任意一个点(x,y)(x, y)(x,y)它在镜子里的像反射过去对应的点就是左半部分的(−x,y)(-x, y)(−x,y)。高度一致因为f(−x)f(x)f(-x) f(x)f(−x)f(x)所以自变量取xxx和取−x-x−x时对应的函数值即yyy轴方向的高度是完全相同的。所以“一面镜子”的意思就是函数在yyy轴右侧的图像是什么样在yyy轴左侧就会像照镜子一样对称地呈现出完全相同的形状。只要画出了x0x 0x0这一侧的图像就可以直接通过向左“折叠”或“投影”画出x0x 0x0这一侧的完整图像。