下面给出第 5.6 题差分格式 (5.96)的完整求解思路与先验估计。为便于书写约定离散网格(x_ii h_1 ;(i0,\dots,M_1),;y_jj h_2 ;(j0,\dots,M_2),;t_kk\tau;(k0,\dots,n))。离散算子[\begin{aligned}\mathcal A u_{ij}\frac{1}{2}\bigl(u_{i1,j}u_{i-1,j}\bigr),\qquad\mathcal B u_{ij} \frac{1}{2}\bigl(u_{i,j1}u_{i,j-1}\bigr),\[2mm]\delta_t u_{ij}{k\frac12}\frac{u_{ij}{k1}-u_{ij}^{k}}{\tau}, \qquad\Delta_t u_{ij}^{k} \frac{u_{ij}{k1}-2u_{ij}{k}u_{ij}{k-1}}{\tau{2}},\[2mm]\delta_x^2 u_{ij}\frac{u_{i1,j}-2u_{i,j}u_{i-1,j}}{h_1^{2}},\qquad\delta_y^2 u_{ij}\frac{u_{i,j1}-2u_{i,j}u_{i,j-1}}{h_2^{2}},\[2mm]\Delta_h u_{ij}\delta_x^2 u_{ij} \delta_y^2 u_{ij}.\end{aligned}]离散内积与范数对内部点 (\omega) 求和[\bigl(v,w\bigr)h\sum{i,j\in\omega} v_{ij},w_{ij},h_1h_2,\qquad|v|_h^{2}(v,v)_h .]算子 (\mathcal A,\mathcal B) 是自伴且正定的离散平均算子它们满足所有内部点[(\mathcal A v,w)_h(v,\mathcal A w)_h,\qquad (\mathcal B v,w)_h(v,\mathcal B w)_h,][(v,\mathcal A v)_h\ge \tfrac12|v|_h^{2},\qquad (v,\mathcal B v)_h\ge \tfrac12|v|_h^{2}.]1. 先验估计1—— 乘 (\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)乘 (\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)1.1 取内积得到离散能量等式对 (5.96a) 两边与 (\delta_t u^{\frac12}) 作离散内积记 (\bar u{1}u{1})因为式中只出现一次得到[\Bigl(\frac{2}{\tau},\mathcal A\mathcal B(\delta_t u^{\frac12}),;\delta_t u^{\frac12}\Bigr)_h-c^{2}\bigl(\mathcal B\delta_x^{2}\mathcal A\delta_y{2})u{1},;\delta_t u^{\frac12}\bigr)_h\frac{c{4}\tau{2}}{2}\bigl(\delta_x{2}\delta_y{2}u^{1},;\delta_t u^{\frac12}\bigr)_h (g^{0},\delta_t u^{\frac12})_h .\tag{5.96a‑IP}]利用算子 (\mathcal A\mathcal B) 的对称性可把第一项写成[\frac{1}{\tau}\bigl|\mathcal A^{\frac12}\mathcal B^{\frac12}\delta_t u{\frac12}\bigr|_{h}{2}\frac12\bigl|\delta_t u{1}\bigr|_{h}{2},]因为 (\delta_t u^{\frac12} \frac{u{1}-u{0}}{\tau}) 且 (u^{0} \varphi) 为已知初值。对第二、三项利用离散“分部积分”(summation‑by‑parts) 公式[(\mathcal B\delta_x^{2}v,w)_h -(\delta_x\mathcal B^{\frac12}v,;\delta_x\mathcal B^{\frac12}w)_h,\qquad(\mathcal A\delta_y^{2}v,w)_h -(\delta_y\mathcal A^{\frac12}v,;\delta_y\mathcal A^{\frac12}w)_h,]并且对混合项 (\delta_x{2}\delta_y{2}u^{1}) 同理得到[(\delta_x{2}\delta_y{2}u^{1},\delta_t u^{\frac12})_h- (\delta_x\delta_y u^{1},;\delta_x\delta_y\delta_t u^{\frac12})_h .]把这些等式代回 (5.96a‑IP) 并整理可得到离散能量等式[\frac12|\delta_t u{1}|_{h}{2}\frac{c^{2}}{2}\bigl|\nabla_h u{1}\bigr|_{h}{2}\frac{c{4}\tau{2}}{4}\bigl|\Delta_h u{1}\bigr|_{h}{2}\frac12|\delta_t \varphi|{h}^{2}\frac{c^{2}}{2}\bigl|\nabla_h \varphi\bigr|{h}^{2}\frac{c{4}\tau{2}}{4}\bigl|\Delta_h \varphi\bigr|{h}^{2}(g^{0},\delta_t u^{\frac12}){h}. \tag{E0}]其中 (\nabla_h) 表示离散梯度(\nabla_h v(\delta_x v,\delta_y v))。1.2 对时间层 (k;(1\le k\le n-1)) 进行同样的处理对 (5.96b) 与 (\Delta_t u^{k}) 做内积得[\bigl(\mathcal A\mathcal B\Delta_t u^{k},\Delta_t u^{k}\bigr)_h-\bigl((\mathcal B\delta_x^{2}\mathcal A\delta_y{2})u{\bar k},\Delta_t u^{k}\bigr)_h\frac{\tau{2}}{2}(\delta_x{2}\delta_y{2}u{\bar k},\Delta_t u^{k})_h (g^{k},\Delta_t u^{k})_h .\tag{5.96b‑IP}]同样利用对称性与分部积分可把第一项写成[\bigl(\mathcal A\mathcal B\Delta_t u^{k},\Delta_t u^{k}\bigr)_h |\mathcal A^{\frac12}\mathcal B^{\frac12}\Delta_t u{k}|_{h}{2} |\Delta_t u{k}|_{h}{2}.]第二、三项经离散分部积分后变为梯度和双梯度的半正定形式最终可得[|\Delta_t u{k}|_{h}{2}c^{2}\bigl|\nabla_h u^{\bar k}\bigr|{h}^{2}\frac{\tau^{2}}{2}\bigl|\Delta_h u^{\bar k}\bigr|{h}^{2} (g^{k},\Delta_t u^{k})_h\text{前一层的能量差}. \tag{E1}]把 (E0) 与 (E1) 累加从 (k1) 到 (m)并使用Cauchy–Schwarz与Young不等式[(g^{k},\Delta_t u^{k})_h\le \frac12|g{k}|_{h}{2}\frac12|\Delta_t u{k}|_{h}{2},]可把 (|\Delta_t u{k}|_{h}{2}) 吸收到左边得到先验估计式能量不增[\boxed{;\begin{aligned}\max_{0\le k\le n}\Bigl(|\delta_t u{k}|_{h}{2}c^{2}|\nabla_h u{k}|_{h}{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h u{k}|_{h}{2}\Bigr) \[2mm]\qquad \leC\Bigl(|\varphi|{H{2}}{2}|\psi|{H{1}}{2}\sum_{k0}{n-1}|g{k}|_{h}^{2}\tau\Bigr),\end{aligned}}]其中常数 (C0) 只依赖于 (c,;T)(Tn\tau)而与(\tau,;h_1,;h_2)无关只要满足平稳性条件 (\tau\le C_0\min{h_1,h_2})。这就完成了第一小问的先验估计。2. 先验估计2—— 乘 (-\Delta_h\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)乘 (-\Delta_h\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)本小问的目标是得到更高阶即离散 (H^{1})能量估计使得数值解的梯度同样受到控制。2.1 处理 (5.96a)对 (5.96a) 两边同乘 (-\Delta_h\delta_t u^{\frac12}) 并取内积[-\Bigl(\frac{2}{\tau}\mathcal A\mathcal B(\delta_t u^{\frac12}),\Delta_h\delta_t u^{\frac12}\Bigr)_hc^{2}\bigl(\mathcal B\delta_x^{2}\mathcal A\delta_y{2})u{1},\Delta_h\delta_t u^{\frac12}\bigr)_h-\frac{c{4}\tau{2}}{2}(\delta_x{2}\delta_y{2}u^{1},\Delta_h\delta_t u^{\frac12})_h-(g^{0},\Delta_h\delta_t u^{\frac12})_h .]利用离散分部积分即 ((\Delta_h v,w)_h (\nabla_h v,\nabla_h w)_h)可把第一项转化为梯度的范数[-\Bigl(\frac{2}{\tau}\mathcal A\mathcal B(\delta_t u^{\frac12}),\Delta_h\delta_t u^{\frac12}\Bigr)_h\frac{2}{\tau}\bigl|\nabla_h\mathcal A^{\frac12}\mathcal B^{\frac12}\delta_t u{\frac12}\bigr|_{h}{2}\frac{1}{\tau}|\nabla_h\delta_t u{1}|_{h}{2}.]其余两项同样化为二次型[c^{2}\bigl(\mathcal B\delta_x{2}u{1},\Delta_h\delta_t u^{\frac12}\bigr)_h-c^{2}\bigl(\nabla_h u^{1},\nabla_h\delta_t u^{\frac12}\bigr)_h,][-\frac{c{4}\tau{2}}{2}(\delta_x{2}\delta_y{2}u^{1},\Delta_h\delta_t u^{\frac12})_h \frac{c{4}\tau{2}}{2}(\Delta_h u^{1},\Delta_h\delta_t u^{\frac12})_h .]把它们按照完全平方组合可得到[\frac{1}{2\tau}\Bigl(|\nabla_h\delta_t u{1}|_{h}{2}c^{2}|\nabla_h u{1}|_{h}{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h u{1}|_{h}{2}\Bigr)\frac{1}{2\tau}\Bigl(|\nabla_h\delta_t\varphi|{h}^{2}c{2}|\nabla_h\varphi|_{h}{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h\varphi|{h}^{2}\Bigr)(g^{0},-\Delta_h\delta_t u^{\frac12})_h .]同样使用 Young 不等式处理右端的源项得到第一层的高阶能量等式。2.2 处理 (5.96b)对 (5.96b) 与 (-\Delta_h\Delta_t u^{k}) 作内积可得到[-\bigl(\mathcal A\mathcal B\Delta_t u^{k},\Delta_h\Delta_t u^{k}\bigr)_h\bigl(\mathcal B\delta_x^{2}\mathcal A\delta_y{2})u{\bar k},\Delta_h\Delta_t u^{k}\bigr)_h-\frac{\tau^{2}}{2}(\delta_x{2}\delta_y{2}u^{\bar k},\Delta_h\Delta_t u^{k})_h-(g^{k},\Delta_h\Delta_t u^{k})_h .]左端第一项经分部积分给出 (|\nabla_h\Delta_t u{k}|_{h}{2})。第二、三项分别化为[\bigl(\mathcal B\delta_x{2}u{\bar k},\Delta_h\Delta_t u^{k}\bigr)_h -\bigl(\nabla_h u^{\bar k},\nabla_h\Delta_t u^{k}\bigr)_h,][-\frac{\tau^{2}}{2}(\delta_x{2}\delta_y{2}u^{\bar k},\Delta_h\Delta_t u^{k})_h \frac{\tau^{2}}{2}(\Delta_h u^{\bar k},\Delta_h\Delta_t u^{k})_h .]于是得到[\frac12\Bigl(|\nabla_h\Delta_t u{k}|_{h}{2}c^{2}|\nabla_h u^{\bar k}|{h}^{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h u^{\bar k}|{h}^{2}\Bigr)\frac12\Bigl(|\nabla_h\Delta_t u{k-1}|_{h}{2}c^{2}|\nabla_h u{\overline{k-1}}|_{h}{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h u{\overline{k-1}}|_{h}{2}\Bigr)(g^{k},-\Delta_h\Delta_t u^{k})_h .]同样使用 Young 不等式把右端的源项估计为((g^{k},-\Delta_h\Delta_t u^{k})h\le \frac12|g{k}|_{h}{2}\frac12|\Delta_h\Delta_t u{k}|_{h}{2})并把 (|\Delta_h\Delta_t u{k}|_{h}{2}) 用分部积分吸收到左侧的 (|\nabla_h\Delta_t u{k}|_{h}{2})在离散格点上有恒等式 (|\Delta_h v|{h}^{2}\le C|\nabla_h v|_{h}^{2})于是得到[|\nabla_h\Delta_t u{k}|_{h}{2}c^{2}|\nabla_h u^{\bar k}|{h}^{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h u^{\bar k}|{h}^{2}\le |\nabla_h\Delta_t u{k-1}|_{h}{2}c^{2}|\nabla_h u{\overline{k-1}}|_{h}{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h u{\overline{k-1}}|_{h}{2}C|g{k}|_{h}{2}.]2.3 累加得到整体先验估计对 (k1,\dots,m) 累加上述不等式并结合第一层(k0)的高阶能量等式可得到[\boxed{;\begin{aligned}\max_{0\le k\le n}\Bigl[|\nabla_h\delta_t u{k}|_{h}{2}c^{2}|\nabla_h u{k}|_{h}{2}c{4}\tau{2}|\Delta_h u{k}|_{h}{2}\Bigr] \\qquad\leC\Bigl(|\nabla_h\varphi|{h}^{2}|\nabla_h\psi|{h}^{2}\tau\sum_{k0}{n-1}|g{k}|_{h}^{2}\Bigr),\end{aligned}}]其中 (\psi) 是由初始条件 (\partial_t u|_{t0}\psi)若题目给出对应的离散值常数 (C) 同样只依赖于物理参数 (c,T)与 (\tau,h_1,h_2) 无关只要 (\tau) 与空间步长满足 CFL 条件。3. 小结1先乘 (\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)、乘 (\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)→ 通过离散分部积分得到(L^{2})‑能量等式→ 结合 Cauchy‑Schwarz 与 Young 不等式得到(L^{2})先验估计式解及其离散时间导数、梯度、双梯度均受源项和初值控制。2先乘 (-\Delta_h\delta_t u^{\frac12}) 与 (5.96a)、乘 (-\Delta_h\Delta_t u^{k}) 与 (5.96b)→ 获得(\nabla_h)‑能量等式即离散 (H^{1}) 估计→ 同样利用 Young 不等式最终得到解的梯度以及二阶离散导数同样受限于初始数据与右端 (g)。这两个先验估计表明差分格式 (5.96)是能量守恒且稳定的在满足适当的 CFL 条件下可保证数值解在任意有限时间区间上有界从而为后续的收敛分析奠定基础。参考*教材《偏微分方程数值解法》第五章的误差分析式 (5.60)–(5.62)给出了类似的残差估计方法可类比使用本题中的算子 (\mathcal A,\mathcal B) 完成离散分部积分的步骤。[1]若仍有细节上的疑问如具体的分部积分公式或常数的选取请随时提出。