摘要本文介绍正弦波的两种生成方法重点讲解傅里叶级数展开法涵盖公式、性质及脉冲波、方波、锯齿波等常见波形的级数推导并通过低通滤波器将三角波转换为正弦波。目录一、积分法生成正弦波二、常见波形的傅里叶级数1、预备知识2、几种常见波形的傅里叶级数三、傅里叶级数展开法的应用前置知识信号与系统3-傅里叶变换与频域分析一、积分法生成正弦波矩形波积分后可得到三角波▼通过对三角波进行积分即可得到正弦波三角波转正弦波。原理移步运算放大器应用汇总1之六、积分电路。积分法不是本内容的重点下面我们对傅里叶级数展开法进行详细的描述。二、常见波形的傅里叶级数1、预备知识1傅里叶级数公式▼给定一个周期为T的函数f(t)那么它可以表示为无穷级数其中傅里叶系数为傅里叶级数的详细推导过程数学-傅里叶级数的推导2傅里叶级数性质收敛性在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下在定义区间上X(t)需绝对可积在任一有限区间中X(t)只能取有限个极值点在任何有限区间上X(t)只能存在有限个第一类间断点。满足上述条件的X(t)傅里叶级数都收敛且当t是X(t)的连续点时级数收敛于X(t)当X(t)是X(t)的间断点时级数收敛于正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性例如在三维欧式空间中互相垂直的向量之间正交。三角函数族的正交性用公式表示出来就是奇偶性奇函数fo(X) 可以表示为正弦级数而偶函数fe(X) 则可以表示成余弦级数2、几种常见波形的傅里叶级数▲如上图所示该梯形波是一个周期为 T 的奇函数幅值为 Amax上升沿时间为 d在区间[0,T/2]的函数表达式为由奇偶性可知该波形在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为其中傅里叶系数为将 f(t) 函数代入傅里叶系数表达式中可得由可得综上所述可以得到该梯形波在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为其中ω 2πf 2π/T。1脉冲波(偶函数)▲如上图所示该脉冲波是一个周期为 T 的偶函数幅值为 Amax脉冲宽度为 αT在区间[-T/2,T/2]的函数表达式为由奇偶性可知该波形在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为其中傅里叶系数为将 f(t)函数代入傅里叶系数表达式中可得因此可以得到该梯形波在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为其中ω 2π/T。2方波(奇函数)同理该方波在区间[-T/2,T/2]的傅里叶级数展开式为其中ω 2π/T。3三角波(奇函数)下面的“三、傅里叶级数展开法”有详述此处不再赘述。4锯齿波(非奇非偶函数)▲该锯齿波如上图所示在区间[0,T]的函数表达式为由于该函数为非奇非偶函数因此该波形在区间[0,T]的傅里叶级数展开式为其中傅里叶系数为将 f(t)函数代入傅里叶系数表达式中可得因此可以得到该锯齿波在区间[0,T]的傅里叶级数展开式为5周期锯齿波(奇函数)周期锯齿波的描述表明了它是一个奇函数即 f(-t) -f(t)。我们可以求解该函数的傅里叶级数展开式。对于奇函数我们只需要计算正弦项。首先我们将锯齿波函数定义为f(t) t其中 t∈(-π,π)。因为这是一个周期函数我们可以将其扩展到整个实数轴上周期为 2π。然后我们可以计算傅里叶级数的正弦系数[An 0因为 f(t) 是奇函数]。将 f(t) t 代入我们得到通过分部积分计算上述积分令 u t则 du dt令 dv sin(nt)dt则 v (-1/n)*cos(nt)∫[t*sin(n*t)]dt uv-∫[v*du] -t*(1/n)*cos(nt)-(1/n)*∫[-cos(nt)]dt -t*(1/n)*cos(nt)(1/n²)*sin(nt)在区间(-π,π)上计算该表达式的值Bn (2/π)*[(1/n²)*sin(nπ)-(1/n²)*sin(-nπ)-π*(1/n)*cos(nπ)π*(1/n)*cos(-nπ)]注意 sin(nπ) 和 sin(-nπ) 都等于0cos(nπ) (-1)^ncos(-nπ) (-1)^n。所以Bn (2/π)*[-π*(1/n)*(-1)^nπ*(1/n)*(-1)^n]化简得Bn (2*(-1)^n)/n▼因此周期锯齿波的傅里叶级数展开式为所以周期为 2π 的锯齿波的傅里叶级数是正弦项。三、傅里叶级数展开法的应用▼三角波可以看作是许多不同频率正弦波的相互叠加而成本应用将三角波通过滤波的方式转为正弦波。▼通过对三角波进行傅里叶级数展开可以得到基波和奇次谐波如下图所示。该三角波在区间 (-T/2,T/2) 的傅里叶级数展开式为再将求和公式展开通过设计适当的低通滤波器取出基波并滤除高次谐波即可得到正弦波。▼二阶低通滤波器可以完成这样的功能电路如下图所示。仿真原文件下载三角波转正弦波。需要注意的是此低通滤波器的通带截止频率应大于三角波的基波频率且小于三角波的3次谐波频率。本例三角波基波频率 50Hz3次谐波频率 150Hz▼通带截止频率如下图 55.7Hz故可满足设计。知道自己是什么年纪并把这个年纪能做好的事情尽力做好才可能有下个年纪的随心所欲。觉得不错动动发财的小手点个赞哦
