C数学魔法学院第六课《超级银行家——复利增长》从银行存款理解指数函数与 C 的 pow() 应用 本课学习目标学完本课后你将掌握✅ 什么是复利✅ 单利与复利的区别✅ 为什么复利属于指数增长✅ 复利公式是如何推导出来的✅ 如何使用 C 的pow()函数计算复利✅ 如何建立现实问题的数学模型 一、故事开始阿Q成为皇家银行家1、程序王国最近举行了一场财富挑战赛。1国王给了阿Q1000金币并给出了两个选择。2方案A直接领取1000金币3方案B存入皇家银行。银行承诺每年增加10%2、阿Q很好奇同样是1000金币为什么很多大人更愿意存银行呢今天我们就来揭开这个秘密。❓二、什么叫10%的利息1、假设你有100元2、银行一年后给你10元1那么10 ÷ 100 0.1即10%2所以100元 ↓ 110元3同理1000元4一年后利息1000 × 10% 1005本金增加为1000100 1100 三、先认识单利很多同学第一次接触利息时想到的是下面这种情况。1、本金1000元2、每年增加100元1第一年11002第二年12003第三年13003、整理成表格年份金额010001110021200313004、观察规律每次固定增加100即100 100 1005、这种增长方式叫单利它属于线性增长 四、复利为什么更厉害1、银行长笑着说我们皇家银行可不是单利。而是复利2、复利最神奇的地方利息也会继续产生利息1第一年1000获得利息100得到11002第二年利息不再按照1000计算。而是按照1100计算。得到1100 × 10% 110总金额12103第三年1210 ×10% 121得到13313、整理表格年份金额01000111002121031331⚖️ 五、单利 VS 复利年份单利复利0100010001110011002120012103130013311、观察1单利每次 1002复利每次 ×1.12、这里出现了一个重要发现复利不是不断加同一个数。而是不断乘同一个数。这正是指数增长的特点。 六、发现指数规律1、继续观察1000 ↓ ×1.1 1100 ↓ ×1.1 1210 ↓ ×1.1 13312、如果写成数学形式1第一年1000 ×1.12第二年1000 ×1.1 ×1.13第三年1000 ×1.1 ×1.1 ×1.13、发现了吗出现了1.1重复相乘。4、于是得到1000×(1.1) ^ 3这就是指数。 七、复利公式是怎样推导出来的1、假设1本金P2年利率r2、存款年数n1第一年P(1r)2第二年P(1r)(1r)3第三年P(1r)(1r)(1r)3、其中符号含义P本金r利率n年数A最终金额这就是著名的复利公式⚙️ 八、如何用 C 实现1、题目1本金1000元2年利率10%3存款3年4求最终金额。2、方法:使用 pow()为什么想到 pow()1因为(1r)被连续乘了n次2而pow(a,b)正好表示a^b3、参考代码#include iostream #include cmath using namespace std; int main() { double P 1000; double r 0.1; int n 3; double A P * pow(1 r, n); cout A endl; return 0; }4、输出1331 九、验证结果是否正确1、不用公式直接模拟。#include iostream using namespace std; int main() { double money 1000; for(int i1;i3;i) { money * 1.1; } cout money endl; return 0; }2、输出13313、结果一致。说明公式正确。 十、什么时候不能直接使用复利公式1、很多同学学完公式后会认为所有利息问题都能套公式其实不是。2、复利公式成立需要满足条件1利率固定例如每年10%条件2中途没有存钱条件3中途没有取钱3、如果出现第一年10% 第二年8% 第三年12%1就不能直接使用(1r)^n2必须逐年模拟。3这就是数学建模中的适用边界 十一、复利在现实中的应用复利不仅出现在银行。还出现在很多地方。1、游戏升级每级经验增加20%2、人口增长每年增长5%3、细胞分裂每小时增长一倍4、病毒传播感染人数不断扩散5、这些本质上都是指数增长模型 十二、 挑战任务第一题本金2000元年利率5%存款2年求最终金额。第二题本金5000元年利率8%存款5年求最终金额。第三题某游戏升级经验100每级增加20%求第10级经验值。 十三、 本课总结1、今天我们学习了指数函数最重要的现实应用复利增长2、核心规律每次增加固定数量 → 线性增长 每次乘固定比例 → 指数增长3、核心代码double A P * pow(1r,n);4、最重要的收获不是公式而是建模思想当你发现一个量不断按照固定比例增长时就想到指数函数和pow()。这也是从“会写代码”迈向“会用数学解决问题”的关键一步。