圆的面积为椭圆的面积为圆的周长为但椭圆的周长没有初等形式可见作为二维图形面积才是它的本质。关于椭圆的周长不妨用相同的思路来看看有没有什么办法。我们求圆的周长实际上求的是面积为在圆周率变化前提下的微分和半径的乘积这里的半径起到了对单位的重复作用而的微分才是重点也就是说同理考虑椭圆面积也用相同的形式这里有两个半径而两个半径导致两者的比例随着角度的前进而不断变化这时候我们令或者显然两个结果都和实际不相符。既然如此我们考虑套用椭圆的积分公式这里如果椭圆退化为四条线段如果这就是圆考虑离心率可以认为这是一个在复平面上的直角三角形其三边关系根据等位原则或者两者的单位相差四分之一周期也就是说或者说两者之中一个是实数另一个就必须是纯虚数。这不难理解如果我们认为圆是底面水平放置的圆柱的横截面那么椭圆就是这个圆柱的斜截面如果横截面中的长度和面积在一个周期中那么斜截面必然跨过周期如果短轴保持原来圆柱的直径则长轴只能以虚数单位为单位所以这里的是自带虚数单位的长轴的一半而是不带虚数单位的短轴的一半所以如图所示观察圆的面积可见它在两个维数上对应的也就是是相同的。而对于椭圆面积也可以自动拆分成两个部分。而对于椭圆的周长两个e是不同的观察面积可见椭圆本身就是一个以长半轴为长度短半轴的自然对数底为单位的增长过程。而短半轴的增长过程根本就没有变过。再看圆它的增长过程为周长来说比如对于圆来说它实际上是在每一个的时候求出的就是圆的周长。不难看出求圆的周长的时机正好是周期的中点也就是二维图形面积的一半维数也就是长度。回到椭圆的面积复刻圆求周长的模式那么椭圆的增长模式为由于圆或者椭圆本身就是增长过程对一个与圆的半径我们用ab的几何平均数代替半径尝试代入这显然不是椭圆的周长。这说明和圆一样代入是不对的这是因为就是垂直底面的方向但椭圆所在平面并不是圆柱的底面。代入的观察点应当和椭圆的朝向有关但是此时的朝向又和有关所以应当先计算出朝向然后再代入到周长公式而此时都是常数这里必须使用数量而不是它的倒数概念因为所以最后的问题就是用求出但作为求增长率我们可以认为是分子分母的增长率不同才导致了结果也就是说分子分母用的不是同一个我们不知道和的具体关系但可以认为关系为等比关系在这里看上去是未知的但实际上我们已经选定了作为椭圆的“半径”那么这个长度和圆柱底面的夹角就对应于的取值。这就是一个立体几何的题目垂直于底面的直角三角形斜边长度为底边长度为高为在上的直角三角形斜边长度为高为底边长度为这个底边和垂直底面平面上的斜边的夹角在底面上转过的夹角有了A和B两个角度就可以唯一标定椭圆上的线的相对方位。但这个长度已经是两种长度几何平均之后的结果那么这个时候我们计算的就不是椭圆的周长而是以这种几何平均数为半径的圆的周长了所以此时并不需要两个角度而只需要一个角度即可这个角度就是A两种单位之间的比值为回到这里的是的幂次也就是说