我自己目前是一名桂电大一新生就读于密码专业平时闲暇之余喜欢钻研数学大一上学期期中时候开始系统性学了一遍线性代数自己有了一些感悟所以想要分享一下。首先说说内积吧这个大多数人都知道也叫数量积和大多数人一样我也是在初高中就有学过但是对于这里面那个莫名其妙出现的的cos其实是一直有疑惑的之前初高中问老师得到的答复是就是书上的一个结论记住就行了最多再给我补充一点大学要学的向量积吧其实说实话这个我最先接触还是在之前高一暑假去补课提前学高二课程时候接触的也就是高中的几何板块当时其实不知道这玩意叫做向量积但是实话实说当时向量积里面的sin也是一样让我困惑的。其次是矩阵和线性泛函矩阵这个概念是我在大学上了线代之后才系统性接触到的其实高中我搞数学竞赛有见过也就是圆锥曲线中变换坐标系求解一些难题但是当时我不知道这玩意的本质是矩阵问题是老师上课也只教计算过程并没有教这玩意到底是个什么作用于是我就只有在课下自己研究在看3B1B的视频途中又顺便接触了线性泛函对这部分感兴趣的可以去看看我的第一篇文章从代数到几何一条完整的逻辑链往后自己又接触了一点点泛函分析和Hilbert空间当然那就是另外一个故事了相关内容参见上篇文章。慢慢系统性过了一遍线性代数后这时候差不多就是我的大一寒假了寒假自己又系统性自学了抽象代数深入学了一部分泛函分析但是对于矩阵内积线性泛函这三个我心里一直很有疑问一方面自己确实对这三个的关系捋不清楚另一方面对应内积外积这两的cos和sin由来自己也很是好奇尽管当时自己已经知道是引入内积才能在向量空间中引入角度和范数这个结论但是对于内积到底怎么发现的仍然一头雾水转机是自己实在是受不了了去QQ的数学群问网上的各位大佬什么你问我现在AI发展这么快为什么不用AI啊这个啊要是某些情况下问AI有用我也不至于去QQ问了问题是我问AI这个怎么来的也只会给我一堆所谓的代数证明丝毫起不到一丁点作用我也不知道是不是我提问方式不兑总之就是没有解决问题在我问内积怎么来的之后大佬成功给了我一个重要的数学概念———四元数起初我只是搜了一下这玩意和内积的关系并成功了解到这玩意和外积也有关系并没有意识到这玩意在现代工程领域的巨大作用至于我现在为什么知道那就是另外一个故事了不过当时确实是不知道的。然后在了解了四元数之后借助自己已有的线性代数和抽象代数的基础我又开始思考这玩意和线性泛函矩阵到底有什么关系通过自己的总结提炼和在QQ群向其他人的相关提问以下是我自己对这叁关系的理解要是有细节不严谨或者有误也欢迎各位大佬提出指正首先从历史来说人们很早就意识到向量物理意义的存在也知道垂直向量的存在只是一直没有一个有效方法去进行表示后来有了笛卡尔坐标系人们开始利用几何解决代数问题但是对于X²10不好处理于是人为引入虚数有了复平面然后人们发现通过虚数i可以表示空间中的旋转和缩放但是仍然没有办法表示垂直于是尝试升高维度进行处理于是乎有了四元数的诞生——对这部分感兴趣的可以去看看数学史我自己反正觉得蛮有趣的。人们惊奇的发现通过四元数可以表示空间中的垂直向量并且也自然而然引入了内积来表示角度和范数后来经过提炼内积外积由此诞生。到这里就出现了线性代数的雏形并且不断发展有了矩阵得以变换空间后面从有限维进入无线维空间后人们又发现了线性泛函的存在并发现从代数层面来讲这个概念和内积在以抽象代数为层次的本质上是完全等价的只是线性泛函是代数过程而内积则是几何表示。总结概括为线性泛函和内积本质上都是抽象代数中线线性在代数和几何层面的不同体现两者本质相同但是互不影响可以脱离对方独自存在不过正因为本质相同在向量空间中便可以利用内积的几何性来辅助理解线性泛函的整体变换过程至于矩阵则是通过引入内积自然有了空间的变换加速了后期线性泛函和泛函分析的相关研究。当然以上也只是自己作为一名普通大一牲业余对数学的一些思考与感悟虽然自己不是数学专业的思考这些对于自己的应试也并没有什么帮助但是对于我来说至少是一个兴趣和思维构建的过程后期深入学习其他数理和计算机板块后会考虑出一些其他文章有对相关内容感兴趣的欢迎大家在评论区进行留言最后欢迎各位大佬对本文中的不足之处进行批评指正也欢迎各位大佬提出建议帮助本人进行后续改进